Analytický signál: pojem, vzorce definice a aplikace

V matematice a zpracování je pojem analytického signálu (zkráceně - C, AC) komplexní funkcí, která nemá žádné negativní frekvenční složky. Skutečné a imaginární části tohoto jevu jsou skutečné funkce spojené navzájem Hilbertovou transformací. Analytický signál je v chemii poměrně běžný jev, jehož podstata je podobná matematické definici tento pojem.

Divadelní představení

Analytická reprezentace skutečné funkce je analytický signál obsahující původní funkci a její Hilbertovu transformaci. Tato reprezentace usnadňuje mnoho matematických manipulací. Základní myšlenkou je, že negativní frekvenční složky Fourierovy transformace (nebo spektra) skutečné funkce jsou nadbytečné kvůli hermitovské symetrii takového spektra. Tyto negativní frekvenční komponenty mohou být vyřazeny bez ztráty informací, pokud se místo toho budete chtít vypořádat se složitou funkcí. Díky tomu jsou specifické atributy funkce přístupnější a usnadňují odvození modulačních a demodulačních metod, jako je jednopásmový pruh.

Negativní složky

Pokud manipulovaná funkce nemá žádné negativní frekvenční komponenty (to znamená, že je stále analytická), transformace ze složité zpět na skutečnou je jen otázkou upuštění imaginární části. Analytická reprezentace je zobecněním konceptu vektoru: zatímco vektor je omezen časově neměnnou amplitudou, fází a frekvencí, kvalitativní analýza analytického signálu umožňuje proměnné v čase parametry.

Okamžitá amplituda, okamžitá fáze a frekvence v některých aplikacích se používají k měření a detekci místních funkcí pomocí. Další aplikace analytické reprezentace se týká demodulace modulovaných signálů. Polární souřadnice pohodlně oddělují účinky amplitudové modulace a fázové (nebo frekvenční) modulace a účinně demodulují určité druhy.

Jednoduchý nízkoprůchodový filtr se skutečnými koeficienty pak může oříznout část zájmu. Dalším motivem je snížení maximální frekvence, což snižuje minimální frekvenci pro vzorkování bez aliasů. Frekvenční posun neohrožuje matematickou vhodnost reprezentace. V tomto smyslu je tedy transformovaný downgrade stále analytický. Obnovení skutečné reprezentace však již není jednoduchou záležitostí pouhé extrakce skutečné komponenty. Může být vyžadována konverze upstream, a pokud je signál vzorkován (diskrétní čas), může být také nutná interpolace (převzorkování), aby se zabránilo překrytí.

Proměnná

Koncept je jasně definován pro jevy jedné proměnné, která je obvykle časová. Tato dočasnost zaměňuje mnoho začínajících matematiků. U dvou nebo více proměnných lze analytický C definovat odlišně a Níže jsou uvedeny dva přístupy.

Skutečné a imaginární části tohoto jevu odpovídají dvěma prvkům vektorového monogenního signálu, jak je definováno pro podobné jevy s jednou proměnnou. Monogenní však lze jednoduchým způsobem rozšířit na libovolný počet proměnných a vytvořit (n + 1) -dimenzionální vektorovou funkci pro případ n-proměnných signálů.

Převod signálů

Reálný signál můžete převést na analytický přidáním imaginární (Q) komponenty, což je Hilbertova transformace skutečné komponenty.

Mimochodem, pro jeho digitální zpracování to není nic nového. Jeden tradiční způsob generování AM s jedním postranním pásmem (SSB) - metoda fázování-zahrnuje generování signálů generováním Hilbertovy transformace zvukového signálu v Analogové síti rezistor-kondenzátor. Protože má pouze kladné frekvence, lze jej snadno převést na modulovaný RF signál pouze s jedním postranním pásmem.

Vzorce definice

Analytický výraz signálu je holomorfní komplexní funkce definovaná na hranici horní komplexní poloroviny. Hranice horní poloviny roviny se shoduje s náhodným, takže C je dán mapováním fa: R → C. Počínaje polovinou minulého století, kdy v roce 1946 Denis Gabor navrhl použití tohoto fenomén pro studium konstantní amplitudy a fáze, signál našel mnoho aplikací. Zvláštnost tohoto jevu byla zdůrazněna [Vak96], kde bylo prokázáno, že pouze kvalitativní analýza analytického signálu odpovídá fyzikálním podmínkám pro amplitudu, fázi a frekvenci.

Nedávné úspěchy

V posledních několika desetiletích se objevil zájem o zkoumání signálu v mnoha dimenzích motivovaných problémy, které se objevují v oblastech od zpracování obrazu / videa po vícerozměrné oscilační procesy ve fyzice, jako jsou seismické, elektromagnetické a gravitační vlny. V zásadě bylo přijato, že pro správné zobecnění analytického C (kvalitativní analýza) v případě více dimenzí by se mělo spoléhat na algebraickou konstrukci, která pohodlně rozšiřuje běžná komplexní čísla. Takové konstrukce se běžně nazývají hyperkomplexní čísla [SKE].

Nakonec by měl být schopen zkonstruovat hyperkomplexní analytický signál fh: Rd → S, kde je prezentován nějaký obecný hyperkomplexní algebraický systém, který přirozeně rozšiřuje všechny požadované vlastnosti, aby získal okamžitou amplitudu a fázi.

Studium

Řada prací se zabývá různými otázkami souvisejícími s správný výběr hyperkomplexní číselný systém, definice hyperkomplexní Fourierovy transformace a Hilbertovy frakční transformace pro studium okamžité amplitudy a fáze. Tyto práce byly většinou založeny na vlastnostech různých prostorů, jako jsou Cd, čtveřice, Clearnovy algebry a Cayley-Dixonovy konstrukce.

Dále uvádíme pouze některé práce zabývající se výzkumem signálu v mnoha dimenzích. Podle našich znalostí byly první práce na vícerozměrné metodě získány počátkem 90. let. Patří mezi ně práce Ell [Ell92] na hyperkomplexních transformacích; Bülowova práce na zobecnění metody analytické reakce (analytický signál) na mnoho měření [BS01] a práce Felsberga a Sommera na monogenních signálech.

Další vyhlídky

Očekává se, že hyperkomplexní signál rozšíří všechny užitečné vlastnosti, které máme v jednorozměrném případě. Nejprve musíme být schopni extrahovat a zobecnit okamžitou amplitudu a fázi na měření. Za druhé, Fourierovo spektrum komplexního analytického signálu je udržováno pouze na pozitivních frekvencích, takže očekáváme, že hyperkomplexní Fourierova transformace bude mít své hyperciferné spektrum, které bude udržováno pouze v nějakém pozitivním kvadrantu hyperkomplexního prostoru. Proto je to velmi důležité.

Zatřetí, konjugované části komplexního konceptu analytického signálu jsou spojeny s Hilbertovou transformací a můžeme očekávat, že konjugované komponenty v hyperkomplexním prostoru musí být spojeny také nějakou kombinací Hilbertových transformací. A konečně, hyperkomplexní signál musí být definován jako rozšíření nějaké hyperkomplexní holomorfní funkce několika hyperkomplexních proměnných definovaných na hranici nějaké formy v hyperkomplexním prostoru.

Tyto problémy řešíme v postupném pořadí. Nejprve začneme zvážením Fourierova integrálního vzorce a ukážeme, že Hilbertova transformace na 1-D souvisí s modifikovaným fourierovým integrálním vzorcem. Tato skutečnost nám umožňuje určit okamžitou amplitudu, fázi a frekvenci bez jakéhokoli odkazu na hyperkomplexní číselné systémy a holomorfní funkce.

Úprava integrálů

Pokračujeme zobecněním modifikovaného vzorce Fourierova integrálu na více dimenzí a definujeme všechny potřebné fázově posunuté komponenty, které můžeme sestavit do okamžité amplitudy a fáze. Za druhé se budeme zabývat otázkou existence holomorfních funkcí několika hyperkomplexních proměnných. Po práci [Sch93] se ukázalo, že komutativní a asociativní hyperkomplexní algebra generovaná sadou eliptických (e2i = -1) generátorů je vhodným prostorem, aby mohl hyperkomplexní analytický signál žít, nazýváme takovou hyperkomplexní algebru Schaefersovým prostorem a označujeme ji Sd.

Hyperkomplex analytických signálů je proto definován jako holomorfní funkce na hranici polydisk / horní polovina roviny v nějakém hyperkomplexním prostoru, který nazýváme společný prostor Schaefers, a je označen přes Sd. Poté pozorujeme platnost Cauchyho integrálního vzorce pro funkce Sd → Sd, které se počítají z hyperplochy uvnitř polydisku v Sd a odvozují odpovídající Hilbertovy frakční transformace, které spojují hyperkomplexní konjugované komponenty. Nakonec se ukazuje, že Fourierova transformace s hodnotami v Schaefersově prostoru je udržována pouze na nezáporných frekvencích. Prostřednictvím tohoto článku jste se naučili, co je analytický signál.