Co to je-přímý hranol? Vlastnosti a vzorce. Příklad úkolu

Stereometrie se zabývá studiem charakteristik trojrozměrných geometrických tvarů. Jedním ze známých objemových tvarů, které se objevují v problémech s geometrií, je přímý hranol. Uvažujme v tomto článku, Co to představuje, a také podrobně charakterizujeme hranol s trojúhelníkovou základnou.

Hranol a jeho typy

Hranolem se rozumí taková postava, která je vytvořena paralelním transportem mnohoúhelníku v prostoru. V důsledku této geometrické operace se vytvoří postava skládající se z několika rovnoběžníků a dvou identických rovnoběžných polygonů. Rovnoběžníky jsou boky hranolu a polygony jsou jeho základny.

Jakýkoli hranol má n + 2 strany, 3 * N hrany a 2 * n vrcholy, kde n je počet úhlů nebo stran polygonální základny. Obrázek ukazuje pětiúhelníkový hranol, který se skládá ze 7 stran, 10 vrcholů a 15 hran.

Dotyčná třída postav je reprezentována hranoly několika druhů. Stručně je uvedeme:

• konkávní a konvexní;
• šikmé a rovné;
• špatné a správné.

Každý obrázek odkazuje na jeden ze tří uvedených typů klasifikace. Při řešení geometrických problémů je nejjednodušší provést výpočty pro správné a přímé hranoly. Podívejme se podrobněji na následující body článku.

Co to je-hranol rovný?

Přímka se nazývá konkávní nebo konvexní, správné nebo nesprávné hranol, ve kterém jsou všechny strany reprezentovány čtyřúhelníky s úhly 90°. Pokud alespoň jeden ze čtyřúhelníků stran není obdélník nebo čtverec, pak se hranol nazývá šikmý. Můžete také dát jinou definici: přímý hranol je taková postava této třídy, ve které je jakákoli boční hrana stejná jako výška. Pod výškou h hranoly se předpokládá vzdálenost mezi jeho základnami.

Obě uvedené definice toho, co je přímým hranolem, jsou rovnocenné a soběstačné. Z nich vyplývá, že všechny úhly vzepětí mezi kteroukoli základnou a každou stranou jsou 90°.

Výše bylo řečeno, že s rovnými tvary je vhodné pracovat při řešení problémů. Výška se shoduje s délkou bočního žebra. Poslední skutečnost usnadňuje proces výpočtu objemu obrázku a jeho boční plochy.

Objem přímého hranolu

Objem-velikost charakteristická pro jakoukoli prostorovou postavu, která numericky odráží část prostoru uzavřeného mezi povrchy dotyčného objektu. Objem hranolu lze vypočítat podle následujícího obecného vzorce:

V = S_o*h.

To znamená, že součin výšky na ploše základny poskytne požadovanou hodnotu V. Protože v přímém hranolu jsou základny stejné, pak pro určení oblasti s_o můžete si vzít kteroukoli z nich.

Výhodou použití výše uvedeného vzorce přesně pro přímý hranol ve srovnání s jeho jinými druhy je, že je velmi snadné najít výšku obrázku, protože se shoduje s délkou boční hrany.

Plocha bočního povrchu

Je vhodné vypočítat nejen objem pro přímou postavu dané třídy, ale také její boční povrch. Jakákoli jeho boční strana je skutečně obdélník nebo čtverec. Jak vypočítat plochu těchto plochých tvarů, každý student ví, proto je nutné vynásobit sousední strany navzájem.

Předpokládejme, že na základně hranolu leží libovolný n-čtverec, jehož strany jsou a_i. Index i běží hodnoty od 1 do n. Plocha jednoho obdélníku se vypočítá takto:

S_i = a_i*h.

Povrchová plocha bočního s_b není těžké vypočítat, pokud sečtete všechny oblasti S_i obdélník. V tomto případě získáme konečný vzorec pro S_b přímý hranol:

S_b = h*∑_i=1ⁿ(a_i) = h*P_o.

Aby bylo možné určit plochu bočního povrchu pro přímý hranol, je nutné vynásobit jeho výšku obvodem jedné základny.

Úkol s trojúhelníkovým hranolem

Předpokládejme, že je uveden přímý hranol. Základy - pravoúhlý trojúhelník. Nohy tohoto trojúhelníku jsou 12 cm a 8 cm. Je nutné vypočítat objem obrázku a jeho celkovou plochu, pokud je výška hranolu 15 cm.

Nejprve vypočítáme objem přímého hranolu. Trojúhelník (pravoúhlý) umístěný v jeho základech má plochu:

S_o = a₁*a₂/2 = 12*8/2 = 48 cm².

Jak můžete hádat, a₁ a a₂ v této rovnosti jsou katety. Znát plochu základny a výšku (viz. stav problému), můžete použít vzorec pro V:

V = S_o* h = 48*15 = 720 cm³.

Celá plocha obrázku je tvořena dvěma částmi: základnovými plochami a bočním povrchem. Plochy dvou základen jsou stejné:

S_2o = 2*S_o = 48*2 = 96 cm².

Pro výpočet plochy bočního povrchu musíte znát obvod pravoúhlého trojúhelníku. Vypočítáme z Pythagorovy věty jeho přeponu a₃, mít:

a₃ = √(a₁² + a₂²) = √(12² + 8²) = 14,42 cm.

Poté bude obvod trojúhelníku základny přímého hranolu:

P = a₁ + a₂ + a₃ = 12 + 8 + 14,42 = 34,42 cm.

Použití vzorce pro S_b, který byl zaznamenán v předchozím odstavci, dostaneme:

S_b = h * P = 15*34,42 = 516,3 cm.

Skládání náměstí s_2o a S_b, získáme úplnou povrchovou plochu studovaného geometrického tvaru:

S = S_2o + S_b = 96 + 516,3 = 612,3 cm².

Trojúhelníkový hranol, který je vyroben ze speciálních druhů skla, se používá v optice při studiu spektra objektů vyzařujících světlo. Takové hranoly jsou schopny rozložit světlo na základní frekvence díky jevu disperze.