Geometrický tvar hranolu. Vlastnosti, typy, vzorce objemu a plochy. Správný trojúhelníkový hranol

Geometrické tvary v prostoru jsou předmětem studia stereometrie, kterou absolvují studenti středních škol. Tento článek je věnován tak dokonalému mnohostěnu, jako je hranol. Podívejme se podrobněji na vlastnosti hranolu a uvedeme vzorce, které slouží k jejich kvantitativnímu popisu.

Co to je-hranol?

Každý představuje, jak vypadá rovnoběžnostěn nebo krychle. Obě postavy jsou hranoly. Třída hranolů je však mnohem rozmanitější. V geometrii je tomuto obrázku dána následující definice: hranol je každý mnohostěn v prostoru, který je tvořen dvěma rovnoběžnými a stejnými polygonálními stranami a několika rovnoběžníky. Stejné rovnoběžné plochy obrázku se nazývají jeho základny (horní a dolní). Rovnoběžníky jsou boční plochy obrázku, které navzájem spojují strany základny.

Pokud je základna reprezentována n-gonem, kde n je celé číslo, pak se obrázek bude skládat ze 2 + n ploch, 2 * n vrcholů a 3 * N hran. Tváře a hrany patří k jednomu ze dvou typů: buď patří k bočnímu povrchu, nebo k základnám. Pokud jde o vrcholy, všechny jsou rovnocenné a vztahují se k základům hranolu.

Druhy postav studované třídy

Při studiu vlastností hranolu byste měli uvést možné typy tohoto obrázku:

• Konvexní a konkávní. Rozdíl mezi nimi spočívá ve tvaru polygonální základny. Pokud je konkávní, bude to také objemová postava a naopak.
• Rovné a šikmé. V přímém hranolu jsou boční plochy reprezentovány obdélníky nebo čtverci. U šikmé postavy jsou boční plochy rovnoběžníky obecného typu nebo kosočtverce.
• Špatné a správné. Aby byla studovaná postava správná, musí být rovná a musí mít správný základ. Příkladem posledně jmenovaného jsou ploché tvary, jako je rovnostranný trojúhelník nebo čtverec.

Název hranolu je vytvořen s ohledem na uvedenou klasifikaci. Například výše uvedený rovnoběžnostěn s pravými úhly nebo krychle se nazývají správné čtyřúhelníku hranol. Správné hranoly, vzhledem k jejich vysoké symetrii, je vhodné studovat. Jejich vlastnosti jsou vyjádřeny jako specifické matematické vzorce.

Hranolová oblast

Když uvažují o takové vlastnosti hranolu, jako je jeho plocha, mají na mysli celkovou plochu všech jeho ploch. Nejjednodušší je představit tuto hodnotu, pokud provedete skenování obrázku, to znamená, že rozložíte všechny tváře na jednu rovinu. Obrázek níže ukazuje příklad zametání dvou hranolů.

Pro libovolný hranol lze vzorec jeho zametací plochy v obecné podobě napsat takto:

S = 2*S_o + b*P_sr.

Vysvětlíme označení. Velikost S_o - toto je plocha jedné základny, B je délka boční hrany, P_sr - obvod řezu, který je kolmý na boční rovnoběžníky obrázku.

Zaznamenaný vzorec se často používá k určení oblastí šikmých hranolů. V případě správného hranolu získá výraz pro s konkrétní podobu:

S = n/2*a²*ctg(pi/n) + n*b*a .

První termín ve výrazu představuje plochu dvou bází pravidelného hranolu, druhý termín je plocha bočních obdélníků. Zde a je délka strany správného n-gonu. Všimněte si, že délka boční hrany b pro správný hranol je také jeho výška h, takže ve vzorci b lze nahradit h.

Jak vypočítat objem obrázku?

Hranol je srovnávací jednoduchý polyester s vysokou symetrií. Proto existuje velmi jednoduchý vzorec pro určení jeho objemu. Má následující vzhled:

V = S_o*h.

Výpočet plochy základny a výšky může být obtížný, pokud je uvažován šikmý nepravidelný tvar. Takový problém je vyřešen sekvenční geometrickou analýzou, která přitahuje informace o vzepětí mezi postranními rovnoběžníky a základnou.

Pokud je hranol správný, pak vzorec pro V získá zcela specifický vzhled:

V = n/4*a²*ctg(pi/n)*h.

Jak je vidět, plocha s a objem V pro správný hranol jsou jednoznačně určeny, pokud jsou známy jeho dva lineární parametry.

Hranol trojúhelníkový je pravidelný

Článek dokončíme zvážením vlastností trojúhelníkového hranolu. Je tvořen pěti plochami, z nichž tři jsou obdélníky (čtverce) a dva jsou rovnostranné trojúhelníky. Hranol má šest vrcholů a devět hran. Pro tento hranol jsou vzorce objemu a povrchové plochy zaznamenány níže:

S₃ = √3/2*a² + 3*h*a

V₃ = √3/4*a²*h.

Kromě těchto vlastností je také užitečné uvést vzorec pro apofém základny obrázku, což je výška h_a rovnostranný trojúhelník:

h_a = √3/2*a.

Boky hranolu jsou stejné obdélníky. Délky jejich úhlopříček d jsou stejné:

d = √(a² + h²).

Znalost geometrických vlastností trojúhelníkového hranolu je nejen teoretický, ale také praktický zájem. Tato postava vyrobená z optického skla se používá ke studiu emisního spektra těles.

Při průchodu skleněným hranolem se světlo rozkládá na řadu základních barev v důsledku disperzního jevu, což vytváří podmínky pro studium spektrálního složení elektromagnetického toku.