Co je to přímý hranol? Vzorce délek úhlopříček, plochy povrchu a objemu obrázku

Školní kurz geometrie je rozdělen do dvou velkých sekcí: planimetrie a stereometrie. Stereometrie studuje prostorové tvary a jejich vlastnosti. V tomto článku se podíváme na to, co je přímý hranol, a uvedeme vzorce popisující jeho vlastnosti, jako jsou délky úhlopříček, objem a plocha povrchu.

Co je hranol?

Když jsou žáci požádáni, aby pojmenovali definici hranolu, odpoví, že daná postava je dva identické rovnoběžné polygony, jejichž strany jsou spojeny rovnoběžníky. Tato definice je co nejobecnější, protože neklade podmínky na tvar mnohoúhelníků, na jejich vzájemné uspořádání v paralelních rovinách. Kromě toho předpokládá přítomnost spojovacích rovnoběžníků, jejichž třída zahrnuje také čtverec, kosočtverec a obdélník. Níže vidíte, co představuje čtyřúhelníkový hranol.

Vidíme, že hranol je mnohostěn (polyhedron) skládající se z n + 2 stran, 2 × n vrcholů a 3 × N hran, kde n je počet stran (vrcholů) jednoho z polygonů.

Oba polygony se obvykle nazývají základny tvaru, zbývající plochy jsou boky hranolu.

Koncept přímého hranolu

Existují hranoly různých druhů. Mluví se tedy o pravidelných a nepravidelných tvarech, o trojúhelníkových, pětiúhelníkových a jiných hranolech, existují konvexní a konkávní tvary, nakonec jsou šikmé a rovné. O nejnovějších budeme mluvit podrobněji.

Přímý hranol je taková postava studované třídy polyhedry, jejíž všechny boční čtyřúhelníky mají pravé úhly. Existují pouze dva typy takových čtyřúhelníků-jedná se o obdélník a čtverec.

Dotyčný typ obrázku má důležitou vlastnost: výška hranolu přímky se rovná délce jeho bočního žebra. Všimněte si, že všechny boční hrany obrázku jsou si navzájem stejné. Pokud jde o boční plochy, obecně si navzájem nejsou rovni. Jejich rovnost je možná, pokud kromě toho, že hranol je přímý, bude stále správný.

Níže uvedený obrázek ukazuje přímý tvar s pětiúhelníkovou základnou. Je vidět, že všechny její boční plochy jsou obdélníky.

Úhlopříčky hranolu a jeho lineární parametry

Hlavními lineárními charakteristikami jakéhokoli hranolu jsou jeho výška h A délka stran jeho základny a_i, kde i = 1, ..., n. Pokud je základna polygonem správná, pak k popisu jejích vlastností stačí znát délku a jedné straně. Znalost označených lineárních parametrů umožňuje jednoznačně určit vlastnosti obrázku, jako je jeho objem nebo povrch.

Úhlopříčky přímého hranolu jsou segmenty, které spojují jakékoli dva nesousedící vrcholy. Takové úhlopříčky mohou být tří typů:

• ležící v rovinách základny;
• v rovinách bočních obdélníků;
• čísla patřící do objemu.

Délky těch úhlopříček, které se vztahují k základně, by měly být stanoveny podle typu n-gonu.

Úhlopříčky bočních obdélníků se počítají podle následujícího vzorce:

d_1i = √(a_i² + h²).

Chcete-li určit objemové úhlopříčky, musíte znát hodnotu délky odpovídající úhlopříčky základny a výšky. Pokud je některá úhlopříčka základny označena písmenem d_0i, pak volumetrická úhlopříčka d_2i vypočítá se takto:

d_2i = √(d_0i² + h²).

Například v případě správné čtyřúhelníku hranoly délka objemové úhlopříčky se bude rovnat:

d₂ = √(2 × a² + h²).

Upozorňujeme, že rovný trojúhelníkový hranol má pouze jeden ze tří pojmenovaných typů úhlopříček: úhlopříčku boční strany.

Povrch studované třídy postav

Povrchová plocha je sbírka ploch všech ploch postavy. Chcete-li si jasně představit všechny aspekty, měli byste provést skenování hranolu. Jako příklad je uveden takový výstružník pro pětiúhelníkový tvar níže.

Vidíme, že počet plochých tvarů je n + 2, přičemž n jsou obdélníky. Pro výpočet plochy celého výstružníku je třeba sečíst plochy dvou stejných základen a plochy všech obdélníků. Pak bude mít odpovídající vzorec tvar:

S = 2 × S_o + h × ∑_i=1ⁿ (a_i).

Z této rovnosti je zřejmé, že plocha bočního povrchu pro studovaný druh hranolu se rovná součinu výšky obrázku na obvodu jeho základny.

Plocha základny S_o lze vypočítat použitím odpovídajícího geometrického vzorce. Například pokud je základna přímého hranolu - pravoúhlý trojúhelník, pak dostaneme:

S_o = a₁ × a₂ / 2.

Kde a₁ a a₂ - trojúhelníkové nohy.

Pokud je základna n-gon se stejnými úhly a stranami, bude spravedlivé použít takový vzorec:

S_o = n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Objemový vzorec

Stanovení objemu hranolu jakéhokoli druhu není obtížný úkol, pokud jsou známy hodnoty jeho základní plochy S_o a výšky h. Vynásobením těchto hodnot mezi sebou získáme objem v čísla, tj.:

V = S_o × h.

Vzhledem k tomu, že přímý hranol má parametr h roven délce boční hrany, pak se celý problém výpočtu objemu scvrkává na výpočet plochy S_o. Výše jsme již řekli několik slov a uvedli několik vzorců, které umožňují definovat S_o. Zde si jen všimneme, že v případě základny libovolného tvaru byste ji měli rozdělit na jednoduché segmenty (trojúhelníky, obdélníky), vypočítat plochu každého z nich a poté sečíst všechny oblasti, abyste získali S_o.