Vzorec objemu hranolu. Objemy pravidelných čtyřúhelníkových a šestihranných tvarů

Hranol je polyester nebo mnohostěn, který se učí ve školním kurzu stereometrie. Jednou z důležitých vlastností tohoto mnohostěnu je jeho objem. Zvažte v článku, Jak můžete vypočítat tuto hodnotu, a také uveďte vzorce objemu hranolů-pravidelný čtyřúhelník a šestiúhelník.

Hranol ve stereometrii

Tato postava je chápána jako polyhedron, který se skládá ze dvou identických polygonů uspořádaných v rovnoběžných rovinách a několika rovnoběžníků. U určitých druhů hranolů mohou rovnoběžníky představovat obdélníkové čtyřúhelníky nebo čtverce. Níže je uveden příklad takzvaného pětiúhelníkového hranolu.

Chcete-li vytvořit tvar jako na obrázku výše, musíte vzít pětiúhelník a provést jeho paralelní přenos na určitou vzdálenost v prostoru. Spojením stran dvou pětiúhelníků pomocí rovnoběžníků získáme hledaný hranol.

Každý hranol se skládá z tváří, vrcholů a hran. Vrcholy hranolu, na rozdíl od pyramidy, jsou rovnocenné, přičemž každá z nich odkazuje na jednu ze dvou bází. Tváře a hrany jsou dvou typů: ty, které patří k základnám, a ty, které odkazují na strany.

Hranoly jsou několika typů (pravidelné, šikmé, konvexní, rovné, konkávní). Zvažte dále v článku, podle kterého vzorce se vypočítá objem hranolu, s přihlédnutím k typu obrázku.

Obecný výraz pro stanovení objemu hranolu

Bez ohledu na jaký druh se studovaná postava týká, zda je přímá nebo šikmá, správné nebo nesprávný, existuje univerzální výraz, který umožňuje určit jeho objem. Objem prostorové postavy se nazývá oblast prostoru, která je uzavřena mezi jejími plochami. Obecný vzorec objemu hranolu vypadá takto:

V = S_o × h.

Zde S_o představuje základní plochu. Je třeba si pamatovat, že mluvíme přesně o jednom základu, ne o dvou. Velikost h je výška. Výškou studované postavy se rozumí vzdálenost mezi jejími stejnými základnami. Pokud se tato vzdálenost shoduje s délkami bočních hran, hovoří se o přímém hranolu. V rovném tvaru jsou všechny strany obdélníky.

Pokud je tedy hranol šikmý a má na základně nepravidelný mnohoúhelník, pak se výpočet jeho objemu komplikuje. Pokud je obrázek přímý, výpočet objemu se sníží pouze na určení plochy základny S_o.

Stanovení objemu správného tvaru

Každý hranol, který je rovný a má polygonální základnu se stejnými stranami a úhly, se nazývá pravidelný. Například takové pravidelné polygony jsou čtverec a rovnostranný trojúhelník. Kosočtverec zároveň není správnou postavou, protože ne všechny jeho úhly jsou si navzájem stejné.

Vzorec objemu správného hranolu jednoznačně vyplývá z obecného výrazu Pro V, který byl zaznamenán v předchozím odstavci článku. Než přejdete k zápisu příslušného vzorce, musíte určit oblast správné základny. Aniž bychom šli do matematických podrobností, uvedeme vzorec pro určení zadané oblasti. Je univerzální pro jakýkoli správný n-gon a má následující vzhled:

S_n = n / 4 × ctg (pi / n) × a².

Jak je vidět z výrazu, oblast s_n - toto je funkce dvou parametrů. Celé číslo n může nabývat hodnot od 3 do nekonečna. Velikost a je délka strany n-gonu.

Pro výpočet objemu obrázku stačí vynásobit plochu s_n na výšku h nebo na délku boční hrany b (h = b). Výsledkem je následující pracovní vzorec:

V = n / 4 × ctg (pi / n) × a² × h.

Všimněte si, že k určení objemu hranolu libovolného tvaru je nutné znát několik veličin (délky stran základny, výška, úhly vzepětí obrázku), pro výpočet stejné velikosti V správného hranolu bychom měli znát pouze dva lineární parametry, například a A h.

Objem hranolu čtyřúhelníku je pravidelný

Čtyřúhelníkový hranol se nazývá rovnoběžnostěn. Pokud má všechny tváře stejné a představují čtverce, bude taková postava krychlí. Každý školák ví, že objem obdélníkového rovnoběžnostěnu nebo krychle je určen vynásobením jeho tří různých stran (délka výšky a šířky). Tato skutečnost vyplývá ze zaznamenaného celkového vyjádření objemu pro správný tvar:

V = n/4 × ctg (pi / n) × a² × h = 4/4 × ctg ( pi / 4) × a² × h = a² × h.

Zde se kotangens od 45° rovná 1. Všimněte si, že rovnost výšky h a délky strany základny a automaticky vede k vzorci objemu krychle.

Objem hranolu šestihranného pravidelného

Nyní použijeme výše uvedenou teorii k určení objemu obrázku se šestihrannou základnou. K tomu stačí nahradit hodnotu nu003d 6 ve vzorci:

V = 6/4 × ctg (pi / 6) × a² × h = 3 × √3/2 × a² × h.

Zaznamenaný výraz lze získat samostatně bez použití univerzálního vzorce pro S_n. K tomu je nutné rozdělit pravidelný šestiúhelník na šest rovnostranných trojúhelníků. Strana každého z nich bude a. Plocha jednoho trojúhelníku odpovídá:

S₃ = √3/4 × a².

Vynásobením této hodnoty počtem trojúhelníků (6) a výškou získáme výše uvedený vzorec pro objem.