Matice: gaussova metoda. Výpočet matice gaussovou metodou: příklady

Lineární algebra, která se vyučuje na univerzitách v různých specialitách, spojuje mnoho složitých témat. Některé z nich jsou spojeny s maticemi a řešením systémů lineárních rovnic metodami Gauss a Gauss-Jordan. Ne všichni studenti dokážou porozumět těmto tématům, algoritmům pro řešení různých problémů. Podívejme se společně na matice a metody Gauss a Gauss-Jordan.

Základní pojmy

Matice v lineární algebře označuje obdélníkové pole prvků (tabulka). Níže jsou sady prvků uzavřené v závorkách. To jsou matice. Z uvedeného příkladu je vidět, že prvky v obdélníkových polích nejsou jen čísla. Matice může sestávat z matematických funkcí, algebraických symbolů.

Abychom porozuměli některým konceptům, sestavíme matici a z prvků a_ij. Indexy nejsou jen písmena: i je číslo řádku v tabulce a j je číslo sloupce, v jehož průsečíku je prvek a_ij. Vidíme tedy, že máme matici prvků jako a₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂ a t. d. Písmenem n jsme označili počet sloupců a písmenem m - počet řádků. Symbol m × n označuje rozměr matice. Toto je koncept, který definuje počet řádků a sloupců v obdélníkovém poli prvků.

Volitelné v matici by mělo být více sloupců a řádků. Při dimenzi 1 × n je pole prvků jednořádkové a při dimenzi m × 1 jednokolejné. Při rovnosti počtu řádků a počtu sloupců se matice nazývá čtvercová. Každá čtvercová matice má determinant (det A). Tímto termínem se rozumí číslo, které odpovídá matici a.

Několik dalších důležitých konceptů, které si musíte pamatovat pro úspěšné řešení matic, je hlavní a vedlejší úhlopříčka. Hlavní úhlopříčka matice označuje úhlopříčku, která jde dolů do pravého rohu tabulky z levého rohu shora. Boční úhlopříčka jde do pravého rohu nahoru z levého rohu zdola.

Postupný pohled na matici

Podívejte se na obrázek níže. Na něm uvidíte matici a schéma. Nejprve se vypořádáme s maticí. V lineární algebře se matice podobného druhu nazývá stupňovitá. Má jednu vlastnost: pokud a_ij je v i-tého řádku první nenulový prvek, pak všechny ostatní prvky z matice stojící níže a vlevo a_ij, jsou nulové (t. e. všechny ty prvky, kterým lze dát písmeno a_kl, kde k>i, a l

Nyní zvažte schéma. Odráží postupný tvar matice. Schéma představuje 3 typy buněk. Každý druh označuje určité prvky:

• prázdné buňky - nulové prvky matice;
• stínované buňky jsou libovolné prvky, které mohou být nulové i nenulové;
• černé čtverečky-nenulové prvky, které se nazývají úhlové prvky," kroky " (v matici prezentované vedle sebe jsou takové prvky číslice -1, 5, 3, 8).

Při řešení matic se někdy získá takový výsledek, když je" délka " kroku větší než 1. To je povoleno. Důležitá je pouze" výška " schodů. V matici stupňovitého tvaru musí být tento parametr vždy roven jedné.

Přivedení matice do stupňovité formy

Jakákoli obdélníková matice může být převedena na stupňovitý tvar. To se provádí díky elementárním transformacím. Patří mezi ně:

• permutace řetězců místy;
• přidání dalšího řádku k jednomu řádku, pokud je to nutné, vynásobené jakýmkoli číslem (lze také provést operaci odčítání).

Zvažte základní transformace při řešení konkrétního problému. Obrázek níže ukazuje matici a, která musí vést k stupňovitému vzhledu.

Abychom problém vyřešili, budeme postupovat podle algoritmu:

• Je vhodné provádět transformace nad takovou maticí, která má první prvek v horním rohu na levé straně (t. e. "vedoucí" prvek) se rovná 1 nebo -1. V našem případě je první prvek v horním řádku 2, takže zaměníme první a druhý řádek za místa.
• Provádíme operace odčítání ovlivněním řádků č. 2, 3 a 4. Musíme se dostat do prvního sloupce pod" vedoucí " prvek nuly. K dosažení tohoto výsledku: od prvků řádku č. 2 postupně odečtěte prvky řádku č. 1 vynásobené 2; od prvků řádku č. 3 postupně odečtěte prvky řádku č. 1 vynásobené 4; od prvků řádku č. 4 postupně odečtěte prvky řádku č. 1.
• Dále budeme pracovat se zkrácenou maticí (bez sloupce č. 1 a bez řádku č. 1). Nový" vedoucí " prvek stojící na průsečíku druhého sloupce a druhého řádku je -1. Není nutné přeskupovat řádky, takže přepisujeme první sloupec a první a druhý řádek beze změny. Provádíme operace odčítání, abychom ve druhém sloupci pod "vedoucím" prvkem získali nuly: od prvků třetího řádku postupně odečteme prvky druhého řádku vynásobené 3; od prvků čtvrtého řádku postupně odečteme prvky druhého řádku vynásobené 2.
• Zbývá změnit poslední řádek. Z jeho prvků odečteme postupně prvky třetího řádku. Tímto způsobem jsme získali stupňovitou matici.

Přivedení matic do stupňovité formy se používá při řešení systémů lineárních rovnic (slu) Gaussovou metodou. Před zvážením této metody pochopíme pojmy relevantní pro slu.

Matice a systémy lineárních rovnic

Matice se používají v různých vědách. Pomocí tabulek z čísel lze například vyřešit lineární rovnice Spojené do systému Gaussovou metodou. Nejprve se seznámíme s několika pojmy a jejich definicemi a uvidíme, jak se ze systému spojujícího několik lineárních rovnic skládá matice.

Slu – několik sjednocených algebraických rovnic, ve kterých jsou neznámé v prvním stupni a chybí termíny, které jsou součinem neznámých.

Řešení slu-nalezené hodnoty neznámých, při jejichž substituci se rovnice v systému stávají identitami.

Společný slu je takový systém rovnic, který má alespoň jedno řešení.

Nekompatibilní slu-systém rovnic, který nemá řešení.

Jak je matice sestavena na základě systému kombinujícího lineární rovnice? Existují pojmy jako hlavní a rozšířená matice systému. Chcete-li získat hlavní matici systému, musíte do tabulky vložit všechny koeficienty, pokud nejsou známy. Získá se rozšířená matice připojením k hlavní matici sloupce volných termínů (zahrnuje známé prvky, se kterými se každá rovnice v systému rovná). Celý tento proces můžete pochopit studiem obrázku níže.

První věc, kterou na obrázku vidíme, je systém zahrnující lineární rovnice. Její prvky: a_ij - číselné koeficienty, x_j - neznámé veličiny, b_i - volné termíny (kde i = 1, 2,..., m, a j = 1, 2,..., n). Druhým prvkem na obrázku je hlavní matice koeficientů. Z každé rovnice jsou koeficienty zapsány do řetězce. Výsledkem je, že v matici je tolik řádků, kolik rovnic vstupuje do systému. Počet sloupců se rovná největšímu počtu koeficientů v jakékoli rovnici. Třetím prvkem na obrázku je rozšířená matice se sloupcem volných členů.

Obecné informace o Gaussově metodě

V lineární algebře se Gaussova metoda nazývá klasický způsob řešení slu. Nese jméno Karla Friedricha Gaussa, který žil v XVIII-XIX století. Je to jeden z největších matematiků všech dob. Podstatou Gaussovy metody je provádění elementárních transformací nad systémem lineárních algebraických rovnic. Pomocí transformací je slu veden k ekvivalentnímu systému trojúhelníkového (stupňovitého) tvaru, ze kterého lze najít všechny proměnné.

Za zmínku stojí, že Karl Friedrich Gauss není objevitelem klasiky způsoby řešení systémy lineárních rovnic. Metoda byla vynalezena mnohem dříve. První jeho popis Nachází se v encyklopedii znalostí starověkých čínských matematiků, která nese název "Matematika v 9 knihách".

Příklad řešení slu Gaussovou metodou

Podívejme se na konkrétní příklad řešení systémů Gaussovou metodou. Budeme pracovat se slu uvedeným na obrázku.

Algoritmus řešení:

1. Přímým průběhem Gaussovy metody přivedeme systém do stupňovité formy, ale nejprve vytvoříme rozšířenou matici numerických koeficientů a volných termínů.
2. K vyřešení matice Gaussovou metodou (t. e. vést k stupňovitému vzhledu), od prvků druhého a třetího řádku postupně odečteme prvky prvního řádku. Dostaneme v prvním sloupci pod "vedoucím" prvkem nuly. Dále změňte druhý a třetí řádek místa pro příslušenství. K prvkům posledního řádku přidáme postupně prvky druhého řádku vynásobené 3.
3. V důsledku výpočtu Gaussovy metody matice jsme získali stupňovité pole prvků. Na jeho základě sestavíme nový systém lineárních rovnic. Inverzním průběhem Gaussovy metody najdeme hodnoty neznámých výrazů. Z poslední lineární rovnice je vidět, že x₃ rovná se 1. Tuto hodnotu nahradíme druhým řádkem systému. Získáte rovnici x₂ – 4 = –4. Z toho vyplývá, že x₂ rovná se 0. Nahrazujeme x₂ a x₃ The první rovnice systému: x₁ + 0 +3 = 2. Neznámý termín je -1.

Odpověď: pomocí matice, Gaussovy metody, jsme našli hodnoty neznámé; x₁ = –1, x₂ = 0, x₃ = 1.

Gauss-Jordanova Metoda

V lineární algebře existuje ještě něco jako Gauss – Jordanova metoda. Považuje se za modifikaci Gaussovy metody a používá se při hledání inverzní matice, výpočtu neznámých termínů čtvercových systémů algebraických lineárních rovnic. Gauss-Jordanova metoda je výhodná, protože umožňuje vyřešit slu v jedné fázi (bez použití dopředných a zpětných tahů).

Začněme termínem "inverzní matice". Řekněme, že máme matici a. Inverzní pro ni bude matice a^-1, v tomto případě je nutně splněna podmínka: A × a^-1 = A^-1 × A = E, T. e. produkt těchto matic se rovná matici identity (u matice identity jsou prvky hlavní úhlopříčky jednotky a zbývající prvky jsou nulové).

Důležitá nuance: v lineární algebře existuje věta o existenci inverzní matice. Dostatečná a nezbytná podmínka existence matice a^-1 - nedegenerace matice a. Při nedegeneraci není det a (determinant) nula.

Základní kroky, na nichž je založena Gauss – Jordanova metoda:

1. Podívejte se na první řádek konkrétní matice. Gauss-Jordanova metoda může začít platit, pokud první hodnota není nulová. Pokud je na prvním místě 0, vyměňte řádky tak, aby první prvek měl jinou hodnotu než nula (je žádoucí, aby číslo bylo blíže k jedné).
2. Vydělte všechny prvky prvního řádku prvním číslem. Získáte řetězec, který začíná jednotou.
3. Od druhého řádku odečtěte první řádek vynásobený prvním prvkem druhého řádku, t. e. nakonec skončíte s řádkem, který začíná od nuly. Proveďte podobné kroky se zbytkem stehů. Aby byly jednotky získány diagonálně, vydělte každý řádek prvním nenulovým prvkem.
4. Nakonec získáte horní trojúhelníkovou matici Gauss-Jordanovou metodou. V něm je hlavní úhlopříčka reprezentována jednotkami. Dolní roh je vyplněn nulami a horní roh je vyplněn různými hodnotami.
5. Z předposledního řádku odečtěte poslední řádek vynásobený požadovaným faktorem. Měli byste mít řetězec s nulami a jednotkou. U ostatních řádků opakujte podobnou akci. Po všech transformacích získáte matici identity.

Příklad nalezení inverzní matice metodou Gauss-Jordan

Chcete-li vypočítat inverzní matici, musíte napsat rozšířenou matici A / E a provést potřebné transformace. Zvažte jednoduchý příklad. Obrázek níže ukazuje matici a.

Řešení:

1. Nejprve najdeme determinant matice Gaussovou metodou (det A). Pokud se tento parametr neukáže jako nula, bude matice považována za nedegenerovanou. To nám umožní odvodit, že a má přesně A^-1. Pro výpočet determinantu transformujeme matici do stupňovité formy elementárními transformacemi. Vypočítáme číslo K, které se rovná počtu permutací řádků. Řádky jsme vyměnili pouze 1krát. Vypočítáme determinant. Jeho hodnota se bude rovnat součinu prvků hlavní úhlopříčky vynásobené (-1)^K. Výsledek výpočtu: det a = 2.
2. Sestavíme rozšířenou matici přidáním matice identity do původní matice. Výsledné pole prvků použijeme k nalezení inverzní matice metodou Gauss-Jordan.
3. První prvek v prvním řádku se rovná jedné. To nám vyhovuje, t. k. není třeba přeskupovat řádky a rozdělit daný řetězec na nějaké číslo. Začneme pracovat s druhým a třetím řádkem. Aby se první prvek ve druhém řádku změnil na 0, vezmeme první řádek vynásobený 3 od druhého řádku. Od třetího řádku odečteme první (není nutné žádné násobení).
4. Ve výsledné matici je druhý prvek druhého řádku -4 a druhý prvek třetího řádku je -1. Pro větší pohodlí vyměňte řádky. Od třetího řádku odečteme druhý řádek vynásobený 4. Druhý řádek rozdělíme na -1 a třetí-na 2. Dostaneme horní trojúhelníkovou matici.
5. Z druhého řádku vezmeme poslední řádek vynásobený 4 z prvního řádku-poslední řádek vynásobený 5. Dále odečteme druhý řádek vynásobený 2 od prvního řádku. Na levé straně jsme dostali matici identity. Vpravo je inverzní matice.

Příklad řešení slu metodou Gauss-Jordan

Obrázek ukazuje systém lineárních rovnic. Je nutné najít hodnoty neznámých proměnných pomocí matice, Gauss – Jordanova metoda.

Řešení:

1. Sestavíme rozšířenou matici. Za tímto účelem uvedeme koeficienty a volné termíny do tabulky.
2. Vyřešíme matici metodou Gauss-Jordan. Z řádku č. 2 odečtěte řádek č. 1. Z řádku č. 3 odečtěte řádek č. 1, předem vynásobený 2.
3. Zaměníme řádky č. 2 a 3.
4. Z řádku č. 3 odebereme řádek č. 2 krát 2. Výsledný třetí řádek rozdělíme na -1.
5. Z řádku č. 2 odebereme řádek č. 3.
6. Z řádku č. 1 odebereme řádek č. 2 vynásobený -1. Na boku jsme dostali sloupec skládající se z číslic 0, 1 A -1. Z toho usuzujeme, že x₁ = 0, x₂ = 1 a x₃ = –1.

V případě potřeby můžete zkontrolovat správnost řešení nahrazením vypočtených hodnot do rovnic:

• 0-1 = -1, první identita ze systému je správná;
• 0 + 1 + (-1) = 0, druhá identita ze systému je správná;
• 0 – 1 + (-1) = -2, třetí identita ze systému je správná.

Závěr: pomocí Gauss-Jordanovy metody jsme našli správné řešení kvadratického systému kombinujícího lineární algebraické rovnice.

Online kalkulačky

Život moderní mládeže, která studuje na univerzitách a studuje lineární algebru, se výrazně zjednodušil. Ještě před několika lety bylo nutné samostatně najít řešení systémů Gauss a Gauss-Jordan. Někteří studenti úspěšně zvládli úkoly, zatímco jiní byli zmateni řešením, udělali chyby, požádali spolužáky o pomoc. Dnes můžete při provádění domácích úkolů používat online kalkulačky. Pro řešení systémů lineárních rovnic, hledání inverzních matic jsou psány programy, které ukazují nejen správné odpovědi, ale také ukazují průběh řešení konkrétního problému.

Na internetu je spousta zdrojů s vestavěnými online kalkulačkami. Matice Gaussovou metodou, systémy rovnic jsou řešeny těmito programy během několika sekund. Studenti potřebují pouze zadat požadované parametry (například počet rovnic, počet proměnných) .