Výpočet úhlu mezi přímkou a rovinou. Koordinační metoda řešení problémů

Mezi běžné stereometrie patří problémy s průnikem přímek a rovin a výpočet úhlů mezi nimi. Podívejme se v tomto článku podrobněji na takzvanou souřadnicovou metodu a úhly mezi přímkou a rovinou.

Přímka a rovina v geometrii

Před zvážením metody souřadnic a úhlu mezi přímkou a rovinou byste se měli seznámit s pojmenovanými geometrickými objekty.

Přímka se nazývá taková sbírka bodů v prostoru nebo v rovině, z nichž každá může být získána lineárním přenosem předchozího do určitého vektoru. Dále označíme tento vektor symbolem u. Pokud je tento vektor vynásoben libovolným číslem, které není nulové, dostaneme paralelní u vektor. Přímka je lineární nekonečný objekt.

Rovina je také sbírka bodů, které jsou uspořádány tak, že pokud z nich tvoří libovolné vektory, pak budou všechny kolmé na nějaký vektor n. Ten se nazývá normální nebo jen normálnost. Rovina, na rozdíl od přímky, je dvourozměrný nekonečný objekt.

Koordinační metoda pro řešení problémů v geometrii

Na základě názvu samotné metody lze odvodit, že jde o způsob řešení úkoly, které jsou založeny na provádění analytických sekvenčních výpočtů. Jinými slovy, metoda souřadnic umožňuje řešit geometrické problémy pomocí univerzálních nástrojů algebry, z nichž hlavní jsou rovnice.

Je třeba poznamenat, že dotyčná metoda se objevila na úsvitu počátků moderní geometrie a algebry. K jeho rozvoji významně přispěli René Descartes, Pierre Fermat, Isaac Newton a Leibniz v XVII-XVIII století.

Podstatou metody je výpočet vzdáleností, úhlů, ploch a objemů geometrických prvků na základě souřadnic známých bodů. Všimněte si, že tvar výsledných výsledných rovnic závisí na souřadnicovém systému. Nejčastěji se v úkolech používá obdélníkový kartézský systém, protože s ním je nejvhodnější pracovat.

Rovnice přímky

Vezmeme-li v úvahu souřadnicovou metodu a úhly mezi přímkou a rovinou, začneme zadáním rovnice přímky. Existuje několik způsobů reprezentace v algebraické formě přímek. Zde uvažujeme pouze vektorovou rovnici, protože z ní lze snadno získat jakoukoli jinou formu a snadno s ní pracovat.

Předpokládejme, že existují dva body: P A Q. Je známo, že prostřednictvím nich můžete vést přímku a bude to jediná. Odpovídající matematická reprezentace prvku vypadá takto:

(x, y, z) = P + λ*PQ¯.

Kde PQ je vektor, jehož souřadnice se získají následujícím způsobem:

PQ¯ = Q - P.

Symbol λ označuje parametr, který může mít absolutně libovolné číslo.

V zaznamenaném výrazu můžete změnit směr vektoru a také nahradit souřadnice Q místo bodu P. Všechny tyto transformace nepovedou ke změně geometrického uspořádání přímky.

Všimněte si, že při řešení problémů je někdy nutné reprezentovat explicitně (parametricky) zaznamenanou vektorovou rovnici.

Přiřazení roviny v prostoru

Stejně jako pro přímku existuje pro rovinu také několik forem matematických rovnic. Mezi nimi si všimneme vektoru, rovnice v segmentech a obecného tvaru. V tomto článku věnujeme zvláštní pozornost poslední formě.

Rovnici obecného tvaru pro libovolnou rovinu lze napsat tímto způsobem:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Latinská velká písmena jsou určitá čísla, která udávají rovinu.

Výhodou této formy záznamu je, že explicitně obsahuje vektor normální k rovině. Rovná se:

n¯ = (A, B, C).

Znalost tohoto vektoru umožňuje rychlým pohledem na rovinnou rovnici reprezentovat umístění posledního v souřadnicovém systému.

Vzájemné uspořádání v prostoru přímky a roviny

V dalším odstavci článku se budeme zabývat metodou souřadnic a úhlem mezi přímkou a rovinou. Zde odpovíme na otázku, jak mohou být v prostoru umístěny uvažované geometrické prvky. Existují tři takové způsoby:

1. Přímka protíná rovinu. Použitím metody souřadnic lze vypočítat, ve kterém jediném bodě se přímka a rovina protínají.
2. Rovina přímky je rovnoběžná. V tomto případě systém rovnic geometrických prvků nemá řešení. Pro prokázání rovnoběžnosti se obvykle používá vlastnost skalárního produktu vodicího vektoru přímky a normálu roviny.
3. Rovina obsahuje přímku. Řešením systému rovnice v tomto případě dospějeme k závěru, že při jakékoli hodnotě parametru λ se získá správná rovnost.

Ve druhém a třetím případě je úhel mezi zadanými geometrickými objekty nulový. V prvním případě leží mezi 0 a 90^o.

Výpočet úhlů mezi rovinami a rovinami

Nyní přejdeme přímo k tématu článku. K jakémukoli průniku přímky a roviny dochází v určitém úhlu. Tento úhel je tvořen nejpřímější a jeho projekcí do roviny. Projekci lze získat, pokud je kolmice snížena z libovolného bodu přímky na rovinu a poté výsledným průsečíkem roviny a kolmice a průsečíkem roviny a původní přímkou nakreslete přímku, která bude projekcí.

Výpočet úhlů mezi rovinami a rovinami není obtížný úkol. K jeho vyřešení stačí znát rovnice odpovídajících geometrických objektů. Řekněme, že tyto rovnice vypadají takto:

(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ*(a, b, c);

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Hledaný úhel je snadno umístěn, pokud použijete vlastnost produktu skalárních vektorů u A n. Konečný vzorec vypadá takto:

θ = arcsin(|(u¯*n¯)|/(|u¯|*|n¯|)).

Tento vzorec naznačuje, že sinus úhlu mezi přímkou a rovinou se rovná poměru modulu skalárního součinu označených vektorů k součinu jejich délek. Abychom pochopili, proč se místo kosinu objevil sinus, podívejme se na obrázek níže.

Je vidět, že pokud použijeme kosinovou funkci, dostaneme úhel mezi vektory u A n. Požadovaný úhel θ (α na obrázku) se získá takto:

θ = 90^o - β.

Sinus se objevuje v důsledku použití vzorců obsazení.

Příklad úkolu

Pojďme k praktickému využití získaných znalostí. Vyřešíme typický problém na úhel mezi rovina a rovina. Jsou uvedeny následující souřadnice čtyř bodů:

P = (1, -1, 0);

Q = (-1, 2, 2);

M = (0, 3, -1);

N = (-2, -1, 1).

Je známo, že rovina prochází body PQM a přímka prochází mn. Pomocí metody souřadnic je třeba vypočítat úhel mezi rovinou a přímkou.

Nejprve si zapíšeme rovnice přímky a roviny. Pro přímé sestavení je snadné:

MN¯ = (-2, -4, 2) =>

(x, y, z) = (0, 3, -1) + λ*(-2, -4, 2).

Abychom vytvořili rovinnou rovnici, najdeme k ní nejprve normální. Jeho souřadnice se rovnají vektorovému součinu dvou vektorů ležících v dané rovině. Mít:

PQ¯ = (-2, 3, 2);

QM¯ = (1, 1, -3) =>

n¯ = [PQ¯*QM¯] = (-11, -4, -5).

Nyní do rovnice obecné roviny nahradíme souřadnice libovolného bodu, který v ní leží, abychom získali hodnotu volného termínu D:

P = (1, -1, 0);

- (A*x + B*y + C*z) = D =>

D = - (-11 + 4 + 0) = 7.

Rovinná rovnice má tvar:

11*x + 4*y + 5*z - 7 = 0.

Zbývá použít vzorec pro úhel vytvořený průsečíkem přímky a roviny, abyste získali odpověď na problém. Mít:

(u¯*n¯) = (11, 4, 5)*(-2, -4, 2) = -28;

|u¯| = √24; |n¯| = √162;

θ = arcsin(28/√(162*24)) = 26,68^o.

Na příkladu tohoto problému jsme ukázali, jak používat metodu souřadnic k řešení geometrických problémů.