Jak najít produkt matic. Násobení matic. Skalární součin matic. Produkt tří matic

S maticemi (tabulky s číselnými prvky) lze provádět různé výpočetní akce. Jedním z nich je násobení číslem, vektorem, jinou maticí, více maticemi. Práce je někdy nesprávná. Chybný výsledek-výsledek neznalosti pravidel pro provádění výpočetních akcí. Pojďme zjistit, jak by se mělo násobení provádět.

Matice a číslo

Začněme nejjednodušším-vynásobením tabulky čísly konkrétní hodnotou. Například máme matici A s prvky a_ij (i jsou čísla řádků a j jsou čísla sloupců) a číslo e. Produktem matice číslem e bude matice B s prvky b_ij, které jsou podle vzorce:

b_ij = e × a_ij.

T. e. pro získání prvku b₁₁ musíte vzít prvek a₁₁ a vynásobte to správným číslem, abyste získali b₁₂ je nutné najít produkt prvku a₁₂ a čísla e a t. d.

Vyřešíme problém č. 1 uvedený na obrázku. Pro získání matice B jednoduše vynásobte prvky z A 3:

1. a₁₁ × 3 = 18. Tuto hodnotu zapíšeme do matice B na místo, kde se protínají sloupec č. 1 a řádek č. 1.
2. a₂₁ × 3 = 15. Dostali jsme prvek b₂₁.
3. a₁₂ × 3 = –6. Dostali jsme prvek b₁₂. Zapíšeme to do matice B na místo, kde se protínají sloupec č. 2 a řádek č. 1.
4. a₂₂ × 3 = 9. Tento výsledek je prvek b₂₂.
5. a₁₃ × 3 = 12. Toto číslo vložíme do matice na místo prvku b₁₃.
6. a₂₃ × 3 = –3. Poslední výsledné číslo je prvek b₂₃.

Získali jsme tedy obdélníkové pole s číselnými prvky.

Vektory a podmínka existence produktu matic

V matematických oborech existuje něco jako"vektor". Tento termín označuje uspořádanou sadu veličin z a₁ do a_n. Nazývají se souřadnice vektorového prostoru a zapisují se jako sloupec. Stále existuje termín "transponovaný vektor". Jeho komponenty jsou umístěny v zobrazení řetězce.

Vektory lze nazvat maticemi:

• sloupcový vektor je matice vytvořená z jednoho sloupce;
• řádkový vektor je matice, která obsahuje pouze jeden řádek.

Při provádění multiplikačních operací nad maticemi je důležité mít na paměti, že existuje podmínka existence produktu. Výpočetní akci a × B lze provést pouze tehdy, když se počet sloupců v tabulce a rovná počtu řádků v tabulce B. Výsledná matice vyplývající z výpočtu má vždy počet řádků tabulky a a počet sloupců tabulky B.

Při násobení se nedoporučuje přeskupovat matice (faktory). Jejich produkt obvykle neodpovídá komutativnímu (pohyblivému) zákonu násobení, t. e. výsledek operace a × B se nerovná výsledku operace B × a. Tato vlastnost se nazývá nekomutativita produktu matic. V některých případech se výsledek násobení a × B rovná výsledku násobení B × A, T. e. produkt komutativní. Matice, při kterém rovnost a × B = B × a se provádí, nazývá se permutace. Příklady takových tabulek naleznete níže.

Násobení sloupcovým vektorem

Při provádění násobení matice sloupcovým vektorem nezapomeňte vzít v úvahu podmínku existence produktu. Počet sloupců (n) v tabulce se musí shodovat s počtem souřadnic, ze kterých je vektor složen. Výsledkem výpočtu je transformovaný vektor. Jeho počet souřadnic se rovná počtu řádků (m) z tabulky.

Jak se vypočítají souřadnice vektoru y, pokud existuje matice A a vektor x? Pro výpočty byly vytvořeny vzorce:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n,

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n,

…………………………………,

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n,

kde x₁, …, x_n - souřadnice Z X-vektoru, m - počet řádků v matici a počet souřadnic v novém y-vektoru, n - počet sloupců v matici a počet souřadnic v x-vektoru, a₁₁, a₁₂, …, a_mn - prvky matice a.

Pro získání i. složky nového vektoru se tedy provede skalární součin. Z matice a je převzat i-tý vektorový řetězec a je vynásoben dostupným vektorem x.

Vyřešíme problém č. 2. Produkt matice na vektor lze najít, protože A má 3 sloupce A x se skládá ze 3 souřadnic. Ve výsledku bychom měli získat sloupcový vektor se 4 souřadnicemi. Použijeme výše uvedené vzorce:

1. Vypočítáme y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Konečná hodnota je 2.
2. Vypočítáme y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Při výpočtu dostaneme 0.
3. Vypočítáme y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Součet součinů uvedených faktorů je 6.
4. Vypočítáme y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Souřadnice je -8.

Násobení vektorového řetězce maticí

Matici složenou z několika sloupců nelze vynásobit řádkovým vektorem. V takových případech není splněna podmínka existence produktu. Je však možné vynásobit vektorový řádek maticí. Tato výpočetní operace se provádí, když se shoduje počet souřadnic ve vektoru a počet řádků v tabulce. Výsledkem produktu vektoru na matici je nový vektorový řetězec. Jeho počet souřadnic by se měl rovnat počtu sloupců v matici.

Výpočet první souřadnice nového vektoru zahrnuje násobení vektorového řádku a prvního sloupcového vektoru z tabulky. Stejným způsobem se vypočítá druhá souřadnice, ale místo prvního sloupcového vektoru se vezme druhý sloupcový vektor. Zde je obecný vzorec pro výpočet souřadnic:

y_k = a_1kx₁ + a_2kx₂ + … + a_mkx_m,

kde y_k - souřadnice Z Y-vektoru, (k je mezi 1 a n), m je počet řádků v matici a počet souřadnic v x-vektoru, n je počet sloupců v matici a počet souřadnic v y-vektoru, a s alfanumerickými indexy - prvky matice A.

Produkt obdélníkových matic

Tato výpočetní akce se může zdát komplikovaná. Násobení se však snadno provádí. Začněme definicí. Produkt matice A S M řádky a n sloupci a matice B S N řádky a p sloupci je matice C S M řádky a p sloupci, ve kterém je prvek c_ij představuje součet produktů prvků i-tého řádku z tabulky a A J-tého sloupce z tabulky B. Pokud mluvíme jednodušším jazykem, pak prvek c_ij je skalární součin i-tého řádkového vektoru z tabulky a A J-tého sloupcového vektoru z tabulky B.

Nyní v praxi pochopíme, jak najít produkt matic obdélníkového tvaru. Vyřešíme problém č. 3. Podmínka existence díla je splněna. Začněme počítat prvky c_ij:

1. Matice C se bude skládat ze 2 řádků a 3 sloupců.
2. Vypočítáme prvek c₁₁. Za tímto účelem provedeme skalární součin řádku č. 1 z matice A a sloupce č. 1 z matice B. c₁₁ = 0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1 = 16. Dále postupujeme podobným způsobem, měníme pouze řádky, sloupce (v závislosti na indexu prvku).
3. c₁₂ = 12.
4. c₁₃ = 9.
5. c₂₁ = 31.
6. c₂₂ = 18.
7. c₂₃ = 36.

Prvky jsou vypočteny. Nyní zbývá jen vytvořit obdélníkový blok ze získaných čísel.

Násobení tří matic: teoretická část

Je možné najít produkt tří matic? Tato výpočetní operace je proveditelná. Výsledek lze získat několika způsoby. Například existují 3 čtvercové tabulky – stejného řádu) - A, B A C. Pro výpočet produktu můžete:

1. Vynásobte nejprve A A B. Výsledek se pak vynásobí C.
2. Nejprve najděte produkt B A C. Dále vynásobte matici a výsledným výsledkem.

Pokud potřebujete znásobit matice obdélníkového tvaru, musíte se nejprve ujistit, že tato výpočetní operace je možná. Musí existovat produkty a × B A B × C.

Postupné násobení není chyba. Existuje něco jako "asociativita násobení matic". Tento termín označuje rovnost (a × B) × C = A × (B × C).

Násobení tří matic: praxe

Čtvercové matice

Začněme vynásobením malých čtvercových matic. Níže na obrázku je problém č. 4, který musíme vyřešit.

Budeme používat vlastnost asociativity. Nejprve vynásobte A A B nebo B A C. Pamatujme si jen jednu věc: multiplikátory nelze přeskupit místy, t. e. nelze násobit B × a nebo C × B. S tímto násobením získáme chybný výsledek.

Průběh rozhodnutí.

Krok první. Chcete-li najít celkový produkt, vynásobte nejprve A B. Při násobení dvou matic se budeme řídit výše uvedenými pravidly. Výsledkem násobení A A B by tedy byla matice D se 2 řádky a 2 sloupci, t. e. obdélníkové pole bude obsahovat 4 prvky. Najdeme je výpočtem:

• d₁₁ = 0 × 1 + 5 × 6 = 30;
• d₁₂ = 0 × 4 + 5 × 2 = 10;
• d₂₁ = 3 × 1 + 2 × 6 = 15;
• d₂₂ = 3 × 4 + 2 × 2 = 16.

Průběžný výsledek je připraven.

Krok dva. Nyní vynásobte matici D maticí C. Výsledkem by měla být čtvercová matice G se 2 řádky a 2 sloupci. Vypočítáme prvky:

• g₁₁ = 30 × 8 + 10 × 1 = 250;
• g₁₂ = 30 × 5 + 10 × 3 = 180;
• g₂₁ = 15 × 8 + 16 × 1 = 136;
• g₂₂ = 15 × 5 + 16 × 3 = 123.

Výsledkem produktu čtvercových matic je tedy tabulka G s vypočítanými prvky.

Obdélníkové matice

Níže na obrázku je problém č. 5. Je nutné znásobit obdélníkové matice a najít řešení.

Zkontrolujeme, zda je splněna podmínka existence produktů a × B A B × C. Pořadí uvedených matic nám umožňuje provádět násobení. Pojďme k vyřešení problému.

Průběh rozhodnutí.

Krok první. Vynásobte B C pro získání D. Matice B obsahuje 3 řádky a 4 sloupce, zatímco matice C obsahuje 4 řádky a 2 sloupce. To znamená, že matice d uspějeme se 3 řádky a 2 sloupci. Vypočítáme prvky. Zde jsou 2 příklady výpočtů:

• d₁₁ = 3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1 = 0;
• d₁₂ = 3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6 = 7.

Pokračujeme v řešení problému. V důsledku dalších výpočtů najdeme hodnoty d₂₁, d₂₂, d₃₁ a d₃₂. Tyto prvky jsou 0, 19, 1 a 11. Zapíšeme nalezené hodnoty do obdélníkového pole.

Krok dva. Vynásobíme A D, abychom získali konečnou matici F. Bude mít 2 řádky a 2 sloupce. Vypočítáme prvky:

• f₁₁ = 2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1 = 1;
• f₁₂ = 2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11 = 139;
• f₂₁ = 0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1 = 3;
• f₂₂ = 0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11 = 52.

Vytvoříme obdélníkové pole, které je konečným výsledkem násobení tří matic.

Seznámení s přímým dílem

Poměrně obtížně pochopitelný materiál je kronekerův produkt matic. Má ještě další název-přímé dílo. Co je chápáno tímto termínem? Řekněme, že máme tabulku a řádu m × n a tabulku B řádu p × q. Přímým produktem matice a na matici B je matice řádu mp × nq.

Máme 2 čtvercové matice A, B, které jsou znázorněny na obrázku. První se skládá ze 2 sloupců a 2 řádků a druhý ze 3 sloupců a 3 řádků. Vidíme, že matice získaná přímým produktem se skládá ze 6 řádků a přesně stejného počtu sloupců.

Jak vypočítat prvky nové matice s přímým produktem? Nalezení odpovědi na tuto otázku je velmi snadné, pokud analyzujete výkres. Nejprve vyplňte první řádek. Vezměte první prvek z horního řádku tabulky a a postupně vynásobte prvky prvního řádku z tabulky B. Dále vezměte druhý prvek prvního řádku tabulky a a postupně vynásobte prvky prvního řádku tabulky B. Chcete-li vyplnit druhý řádek, znovu vezměte první prvek z prvního řádku tabulky a a vynásobte jej prvky druhého řádku tabulky B.

Konečná matice získaná přímým produktem se nazývá bloková matice. Pokud znovu analyzujete obrázek, můžete si všimnout, že náš výsledek se skládá ze 4 bloků. Všechny obsahují prvky matice B. Prvek každého bloku je navíc vynásoben konkrétním prvkem matice a. V prvním bloku jsou všechny prvky vynásobeny a₁₁, ve druhém - na a₁₂, ve třetím-na a₂₁, ve čtvrtém-na a₂₂.

Determinant díla

Při zvažování tématu týkajícího se násobení matic stojí za to zvážit termín jako "determinant produktu matic". Co je determinant? To je důležité charakterizace čtvercové matice, určitá hodnota, která je v souladu s touto maticí. Označení písmen determinant-det.

Pro matici a skládající se ze dvou sloupců a dvou řádků lze determinant snadno najít. Existuje malý vzorec, který představuje rozdíl mezi produkty konkrétních prvků:

det A = a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Zvažte příklad výpočtu determinantu pro tabulku druhého řádu. Existuje matice a, kde a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 5 A a₂₂ = 1. Pro výpočet determinantu použijeme vzorec:

det A = 2 × 1 – 3 × 5 = 2 – 15 = –13.

U Matic 3 × 3 se determinant vypočítá složitějším vzorcem. Je uveden níže pro matici a:

det A = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃.

Pro zapamatování vzorce bylo vynalezeno pravidlo trojúhelníku, které je znázorněno na obrázku. Nejprve se vynásobí prvky hlavní úhlopříčky. K výsledné hodnotě jsou přidány produkty těch prvků, na které ukazují rohy trojúhelníků s červenými stranami. Dále se odebere produkt prvků boční úhlopříčky a odeberou se produkty těch prvků, na které ukazují úhly trojúhelníků s modrými stranami.

Nyní si povíme o determinantu produktu matic. Existuje věta, která říká, že daný exponent se rovná součinu determinantů množících se tabulek. Přesvědčme se o tom na příkladu. Máme matici a s prvky a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 A a₂₂ = 1 a matice B s prvky b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 a b₂₂ = 2. Najdeme determinanty pro matice A A B, produkt a × B a determinant tohoto produktu.

Průběh rozhodnutí.

Krok první. Vypočítáme determinant Pro a: det A = 2 × 1 – 3 × 1 = -1. Dále vypočítáme determinant pro B: det B = 4 × 2 – 5 × 1 = 3.

Krok dva. Najdeme produkt a × B. Označíme novou matici písmenem C. Vypočítáme jeho prvky:

• c₁₁ = 2 × 4 + 3 × 1 = 11;
• c₁₂ = 2 × 5 + 3 × 2 = 16;
• c₂₁ = 1 × 4 + 1 × 1 = 5;
• c₂₂ = 1 × 5 + 1 × 2 = 7.

Krok třetí. Vypočítáme determinant pro C: det C = 11 × 7 – 16 × 5 = -3. Srovnatelná s hodnotou, která by mohla být získána vynásobením determinantů původních matic. Čísla jsou stejná. Výše uvedená věta platí.

Hodnost díla

Hodnost matice je charakteristika odrážející maximální počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců. Pro výpočet hodnosti se provádějí elementární transformace matice:

• přeskupení na místech dvou rovnoběžných s ležícími řadami;
• vynásobení všech prvků určité řady z tabulky číslem, které se nerovná nule;
• přidání k prvkům jedné řady prvků z jiné řady vynásobené konkrétním číslem.

Po elementárních transformacích se podívejte na počet nenulových řetězců. Jejich počet je hodností matice. Zvažte předchozí příklad. Představoval 2 matice: a s prvky a₁₁ = 2, a₁₂ = 3, a₂₁ = 1 A a₂₂ = 1 A B s prvky b₁₁ = 4, b₁₂ = 5, b₂₁ = 1 a b₂₂ = 2. Použijeme také matici C získanou z násobení. Pokud provedeme elementární transformace, pak ve zjednodušených maticích nebudou žádné nulové řetězce. To znamená, že jak pořadí tabulky a, tak pořadí tabulky B a pořadí tabulky C jsou 2.

Nyní věnujeme zvláštní pozornost hodnosti produktu matic. Existuje věta, která uvádí, že hodnost součinu tabulek obsahujících číselné prvky nepřesahuje hodnost žádného z násobitelů. To lze prokázat. Nechť a je matice velikosti k × s A B je matice velikosti S × M. Produkt a A B se rovná C.

Podívejme se na výše uvedený obrázek. Zobrazuje první sloupec matice C a její zjednodušený záznam. Tento sloupec je lineární kombinací sloupců obsažených v matici A. Podobně lze říci o jakémkoli jiném sloupci z obdélníkového pole C. Podprostor tvořený sloupcovými vektory tabulky C je tedy k dispozici v podprostoru vytvořeném sloupcovými vektory tabulky a. Z tohoto důvodu rozměr podprostoru č. 1 nepřekračuje rozměr podprostoru č. 2. Z toho vyplývá závěr, že hodnost ve sloupcích tabulky C nepřesahuje hodnost ve sloupcích tabulky a, t. e. r(C) ≤ r(A). Pokud uvažujete podobným způsobem, můžete ověřit, že řádky matice C jsou lineární kombinace řádků matice B. Z toho vyplývá nerovnost R (C) ≤ R (B).

Jak najít produkt matic - poměrně složité téma. Lze jej snadno zvládnout, ale k dosažení tohoto výsledku budete muset věnovat spoustu času zapamatování všech existujících pravidel a vět.