Vzdálenost mezi rovnoběžnými přímkami. Vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami

Přímka a rovina jsou dva nejdůležitější geometrické prvky, pomocí kterých lze konstruovat různé tvary ve dvourozměrném a trojrozměrném prostoru. Zvažte, jak najít vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami a rovnoběžnými rovinami.

Matematický úkol je přímý

Ze školního kurzu geometrie je známo, že v dvourozměrném obdélníkovém souřadnicovém systému lze přímku nastavit v následujícím tvaru:

y = k*x + b.

Kde K A b jsou čísla (parametry). Zaznamenaná forma reprezentace přímky v rovině je rovina, která je rovnoběžná s osou z v trojrozměrném prostoru. Z tohoto důvodu v tomto článku pro matematické zadání přímky použijeme pohodlnější a univerzálnější formu-vektorovou.

Předpokládejme, že naše přímka je rovnoběžná s nějakým vektorem u (a, B, c) a prochází bodem P (x_0, y₀, z₀). V tomto případě bude ve vektorové formě její rovnice reprezentována následovně:

(x_, y, z) = (x_0, y₀, z₀) + λ*(a, b, c).

Zde λ je libovolné číslo. Pokud explicitně reprezentujeme souřadnice odhalením zaznamenaného výrazu, získáme parametrický tvar záznamu přímky.

Je vhodné pracovat s vektorovou rovnicí při řešení různých problémů, ve kterých je nutné určit vzdálenost mezi přímkami rovnoběžnými.

Přímky a vzdálenost mezi nimi

Mluvit o vzdálenosti mezi přímkami má smysl, pouze pokud jsou rovnoběžné (v trojrozměrném případě existuje také nenulová vzdálenost mezi přímými kříženci). Pokud se čáry protínají, pak jsou zjevně nulové vzdálenosti od sebe.

Vzdálenost mezi přímými rovnoběžkami se nazývá délka kolmice, která je spojuje. K určení tohoto ukazatele stačí vybrat libovolný bod na jedné z přímek a snížit kolmici na druhou.

Stručně popíšeme postup nalezení požadované vzdálenosti. Dejme tomu, co nám jsou známy vektorové rovnice dvou přímek, které jsou uvedeny v následující obecné formě:

(x_, y, z) = P + λ*u¯;

(x_, y, z) = Q + β*v¯.

Na těchto přímkách vytvoříme rovnoběžník tak, že jedna ze stran bude PQ a druhá, například u. Je zřejmé, že výška daného obrázku nakreslená z bodu P je délka požadované kolmice. K jeho nalezení můžete použít následující jednoduchý vzorec:

d = |[PQ¯*u¯]|/|u¯|.

Protože vzdálenost mezi přímými rovnoběžkami se nazývá délka kolmého segmentu mezi nimi, pak podle zaznamenaného výrazu stačí najít modul vektorového produktu PQ a u a výsledek vydělit délkou vektoru u.

Příklad problému na definici mezi přímými vzdálenostmi

Dvě přímky jsou dány následujícími vektorovými rovnicemi:

(x_, y, z) = (2, 3, -1) + λ*(-2, 1, 3);

(x_, y, z) = (1, 1, 1) + β*(2, -1, -3).

Ze zaznamenaných výrazů je vidět, že máme dvě rovnoběžné čáry. Pokud vynásobíte -1 souřadnicemi vodicího vektoru první přímky, získáte souřadnice vodicího vektoru druhé přímky, což naznačuje jejich rovnoběžnost.

Vypočítáme vzdálenost mezi přímými rovnoběžkami pomocí vzorce zaznamenaného v předchozím odstavci článku. Mít:

P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1) => PQ¯ = (-1, -2, 2);

u¯ = (-2, 1, 3).

Pak dostaneme:

/ u / = √14 cm;

d = |[PQ*u]/|| u / = √(90/14) = 2,535 cm.

Všimněte si, že místo bodů P A Q bylo možné k vyřešení problému použít absolutně jakékoli body, které patří k daným přímým bodům. Přitom bychom dostali stejnou vzdálenost d.

Přiřazení roviny v geometrii

Výše byla podrobně popsána otázka vzdálenosti mezi přímkami. Nyní ukážeme, jak najít vzdálenost mezi rovnoběžnými rovinami.

Každý představuje, co je rovina. Podle matematické definice je uvedený geometrický prvek souborem bodů. Kromě toho, pokud pomocí těchto bodů vytvoříte všechny druhy vektorů, budou všechny kolmé na jeden jediný vektor. Ten se obvykle nazývá normál k rovině.

Pro stanovení rovinné rovnice v trojrozměrném prostoru se nejčastěji používá obecná forma rovnice. Má tento vzhled:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Kde velká latinská písmena jsou některá čísla. Je vhodné použít tento typ rovinné rovnice, protože v ní jsou výslovně uvedeny souřadnice normálního vektoru. Jsou rovny A, B, C.

Není těžké pochopit, že obě roviny jsou rovnoběžné, pouze pokud jsou jejich normály rovnoběžné.

Jak najít vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými rovinami ?

K určení uvedené vzdálenosti je třeba jasně uvést, o co jde. Vzdáleností mezi rovinami, které jsou navzájem rovnoběžné, se rozumí délka segmentu kolmého na ně. Konce tohoto segmentu patří k rovinám.

Algoritmus pro řešení takových problémů je jednoduchý. Chcete-li to provést, musíte najít souřadnice absolutně libovolného bodu, který patří do jedné ze dvou rovin. Pak byste měli použít tento vzorec:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²).

Protože vzdálenost je kladná hodnota, pak v čitateli je znaménko modulu. Zaznamenaný vzorec je univerzální, protože umožňuje vypočítat vzdálenost od roviny k absolutně jakémukoli geometrickému prvku. Stačí znát souřadnice jednoho bodu tohoto prvku.

Pro úplnost informací si všimneme, že pokud normály dvou rovin nejsou navzájem rovnoběžné, pak se takové roviny protínají. Vzdálenost mezi nimi by pak byla nulová.

Úkol určit vzdálenost mezi rovinami

Je známo, že dvě roviny jsou dány následujícími výrazy:

y/5 + x/(-3) + z/1 = 1;

-x + 3/5*y + 3*z – 2 = 0.

Je nutné prokázat, že roviny jsou rovnoběžné, a také určit vzdálenost mezi nimi.

K zodpovězení první části problému je nutné první rovnice vést k obecné formě. Všimněte si, že je uveden v takzvané formě rovnice v segmentech. Vynásobíme jeho levou a pravou stranu 15 a přeneseme všechny termíny do jedna strana rovnost, získáme:

-5*x + 3*y + 15*z – 15 = 0.

Vypíšeme souřadnice dvou normálních vektorů rovin:

n₁¯ = (-5, 3, 15);

n₂¯ = (-1, 3/5, 3).

Je vidět, že pokud n₂ vynásobte 5, pak přesně dostaneme souřadnice n₁¯. Uvažované roviny jsou tedy rovnoběžné.

Pro výpočet vzdálenosti mezi rovnoběžnými rovinami vybereme libovolný bod prvního z nich a použijeme vzorec uvedený výše. Vezměte například bod (0, 0, 1), který patří do první roviny. Pak dostaneme:

d = |A*x₀ + B*y₀ + C*z₀ + D|/√(A² + B² + C²) =

= 1/(√(1 + 9/25 + 9 )) = 0,31 viz.

Požadovaná vzdálenost je 31 mm.

Vzdálenost mezi rovinou a přímkou

Poskytnuté teoretické znalosti také umožňují vyřešit problém s určováním vzdálenosti mezi přímkou a rovinou. Výše uvedené bylo zmíněno, že vzorec platný pro výpočty mezi rovinami je univerzální. Lze jej také použít k vyřešení problému. K tomu stačí vybrat libovolný bod, který patří k dané přímce.

Hlavním problémem při určování vzdálenosti mezi uvažovanými geometrickými prvky je důkaz jejich rovnoběžnosti (pokud tomu tak není, pak d = 0). Paralelnost lze snadno prokázat výpočtem skalárního součinu normálu a vodicího vektoru pro přímku. Pokud jsou dotyčné prvky rovnoběžné, bude tento produkt nulový.