Co je hyperboloid: rovnice, konstrukce, obecné charakteristiky

Aby bylo pro čtenáře snazší si představit, co je hyperboloid-trojrozměrný objekt - nejprve je třeba zvážit stejnojmennou křivku hyperboly, která se vejde do dvourozměrného prostoru.

Hyperbola má dvě osy: skutečnou, na tomto obrázku odpovídající ose úsečky, a imaginární-s osou souřadnic. Pokud mentálně začnete otáčet rovnici hyperboly kolem její imaginární osy, pak povrch, "zametat" křivka bude hyperboloid stejného pohlaví.

Pokud začnete tímto způsobem otáčet hyperbolu kolem její skutečné osy, pak každá ze dvou "půlka" křivka bude tvořit svůj vlastní samostatný povrch a společně se tomu bude říkat hyperboloid s dvojitou dutinou.

Získané rotací odpovídající ploché křivky se nazývají odpovídajícím způsobem hyperboloidy rotace. Ve všech směrech kolmých k ose otáčení jsou zachovány parametry patřící k rotující křivce. Obecně to není.

Rovnice hyperboloidu

Obecně může být povrch dán následujícími rovnicemi v kartézských souřadnicích(x, y, z):

V případě hyperboloidu rotace je jeho symetrie vzhledem k ose, kolem které byla otočena, vyjádřena rovností koeficientů a = b.

Charakteristika hyperboloidu

Má zaměření. Víme, že křivky v rovině mají ohniska-například v případě nadsázky je modul rozdílu vzdálenosti od libovolného bodu, na nadsázce k jednomu ohnisku a druhý konstantní podle definice ve skutečnosti zaostřovacích bodů.

Při přechodu do trojrozměrného prostoru se definice prakticky nemění: ohniska jsou opět dva body a rozdíl vzdáleností od nich k libovolnému bodu patřícímu k povrchu hyperboloidu je konstantní. Jak vidíte, ze změn se objevila pouze třetí souřadnice ve všech možných bodech, protože jsou nyní dány v prostoru. Obecně řečeno, definice zaostření je ekvivalentní identifikaci typu křivky nebo povrchu: když mluvíme o umístění povrchových bodů vzhledem k ohniskům, ve skutečnosti odpovídáme na otázku, co je hyperboloid a jak vypadá.

Stojí za zmínku, že hyperbola má asymptoty-přímky, ke kterým její větve usilují v nekonečnu. Pokud při konstrukci hyperboloidu rotace mentálně otáčíte asymptoty spolu s hyperbolou, pak kromě hyperboloidu získáte také kužel zvaný asymptotický. Asymptotický kužel existuje jak u hyperboloidů stejného pohlaví, tak u hyperboloidů s dvojitou dutinou.

Další důležitou charakteristikou, která je k dispozici pouze u hyperboloidu stejného pohlaví , jsou přímočaré formátory. Jak název napovídá, jsou to čáry a leží zcela na daném povrchu. Každý bod hyperboloidu stejného pohlaví prochází dvěma přímými formátory. Patří do dvou rodin přímek, které jsou popsány následujícími systémy rovnic:

Hyperboloid stejného pohlaví tedy může být zcela tvořen nekonečným počtem přímek dvou rodin, přičemž každá linie jedné z nich se bude protínat se všemi liniemi druhé. Povrchy reagující na tyto vlastnosti se nazývají lineární; mohou být konstruovány rotací jedné přímky. Definice prostřednictvím vzájemného uspořádání přímých (přímočarých generátorů) v prostoru může také sloužit jako jednoznačné označení toho, co je hyperboloid.

Zajímavé vlastnosti hyperboloidu

Křivky druhého řádu a odpovídající rotační povrchy mají zajímavé optické vlastnosti spojené s ohnisky. V případě hyperboloidu je to formulováno následovně: pokud je paprsek uvolněn z jednoho ohniska, pak se odráží od nejbližšího "stěny", vezme takový směr, jako by šel z druhého zaměření.

Hyperboloidy v životě

S největší pravděpodobností většina čtenářů začala svou znalost analytické geometrie a povrchů druhého řádu fantastickým románem Alexeje Tolstého "Hyperboloid inženýra Garina". Spisovatel však buď sám nevěděl, co je hyperboloid, nebo obětoval přesnost pro umění: popsaný vynález fyzikálními vlastnostmi je spíše paraboloid, který shromažďuje všechny paprsky v jednom ohnisku (zatímco optické vlastnosti hyperboloidu jsou spojeny s rozptylem paprsků).

Hyperboloidní struktury: jedná se o struktury, jejichž formou je hyperboloid stejného pohlaví nebo hyperbolický paraboloid. Faktem je, že pouze tyto rotační povrchy druhého řádu mají přímočaré formátory: zakřivenou strukturu lze tedy postavit pouze z rovných nosníků. Výhody takových struktur - ve schopnosti odolat velkému zatížení, například z větru: forma hyperboloidu se používá při stavbě vysokých struktur, například televizních věží.